通用量子门集合效率的可计算下界

当前可用的量子计算机，即所谓含噪中等规模量子（NISQ）设备，其特征是量子比特数较少且门保真度中等。在此情形下，量子纠错无法实现，这些设备的性能相当有限。特别是，以合理高保真度可实现的电路深度受限，因此需要最小化电路深度。此类深度取决于计算中使用的通用门集合 $\mathcal{S}$ 的效率，并可用 Solovay-Kitaev 定理界定。然而，已知对于特定 $\mathcal{S}$ 可获得更好的渐近紧界，形式为 $\mathcal{O}(\mathrm{log}(\epsilon^{-1}))$。这些界由所谓谱隙控制，记为 $\mathrm{gap}(\mathcal{S})$。然而，一般 $\mathcal{S}$ 的 $\mathrm{gap}(\mathcal{S})$ 无法计算，实践中考虑某一尺度 $r(\epsilon)$ 下的谱隙，记为 $\mathrm{gap}_r(\mathcal{S})$。只要关注物理可行情形（即误差 $\epsilon$ 有下界），这足以界定 $\mathcal{S}$ 的效率。本文我们推导了 $\mathrm{gap}_r(\mathcal{S})$ 的下界，并由此得到满足附加条件的 $d$ 维量子门通用集合 $\mathcal{S}$ 效率的下界。该条件对于通用量子门（例如 Haar 随机门）自然满足。我们的界是显式的，即所有参数可由现有计算机通过数值计算确定，至少对小 $d$ 如此。这与已知的 $\mathrm{gap}_r(\mathcal{S})$ 下界形成对比，后者涉及取值模糊的参数。