$L_p$ 范数下的矩阵平衡：Osborne 迭代的新分析

我们研究 Osborne (1960) 提出的一种迭代矩阵调节算法。该算法的目标是将方阵转换为平衡矩阵，其中每一行与对应列具有相同的范数。原始算法针对 $L_2$ 范数下的行与列平衡而提出，其通过以固定的轮询顺序迭代平衡行-列对来工作。针对其他范数的算法变体已被深入研究，并作为许多数值线性代数软件包中的标准预条件子实现。最近，Schulman 与 Sinclair (2015) 在首个针对任意范数的此类结果中，分析了使用 $L_{\infty}$ 范数及不同行-列对选择顺序的 Osborne 算法变体的收敛速率。在本文中，我们研究 $L_1$ 范数及其他 $L_p$ 范数下的矩阵平衡。对于任意矩阵 $A = (a_{ij})_{i,j=1}^n$，我们展示了如下结果，尤其解决了 Schulman 与 Sinclair 提及的一个主要开放问题。1) 我们分析了贪心平衡顺序下 $L_1$ 范数的迭代。我们证明其在 $K = O(\min\{\epsilon^{-2}\log w,\epsilon^{-1}n^{3/2}\log(w/\epsilon)\})$ 次迭代内收敛到 $\epsilon$-平衡矩阵，在 $O(n\log w)$ 位数值上总计耗费 $O(m + Kn\log n)$ 次算术运算。此处 $m$ 为 $A$ 的非零元素个数，且 $w = \sum_{i,j} |a_{ij}|/a_{\min}$，其中 $a_{\min} = \min\{|a_{ij}|:\ a_{ij}\neq 0\}$。2) 我们证明原始轮询实现在 $O(\epsilon^{-2}n^2\log w)$ 次迭代内收敛到 $\epsilon$-平衡矩阵，在 $O(n\log w)$ 位数值上总计 $O(\epsilon^{-2}mn\log w)$ 次算术运算。3) 我们证明了该迭代任意实现的收敛速率下界 $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$。