数字孪生与偏微分方程模型迁移学习的数学基础

我们将由偏微分方程（PDE）控制的物理系统的数字孪生（DT）定义为用于实时模拟和控制系统在变化条件下行为的模型。我们使用Karhunen-Loève神经网络（KL-NN）代理模型和迁移学习（TL）构建DT。代理模型允许快速推理和对控制参数的可微性，以便进行控制和优化。TL用于以最少额外数据重新训练模型以适应新条件。我们采用矩方程分析TL，并确定可以迁移到新条件的参数。所提出的分析还指导DT中控制变量的选择，以促进高效的TL。对于线性PDE问题，KL-NN代理模型中的不可迁移参数可以从对应于新目标条件下控制变量均值的单个PDE解中精确估计。用单个解样本重新训练ML模型称为一次性学习，我们的分析表明，对于线性PDE，一次性TL是精确的。对于非线性PDE问题，任何参数的迁移都会引入误差。对于非线性扩散PDE模型，我们发现，对于相对较小的控制变量范围，一些代理模型参数可以在不引入显著误差的情况下迁移，一些可以从平均场方程近似估计，其余可以通过线性残差最小二乘问题或普通线性最小二乘问题（如果有新条件下的小标记数据集）找到。前一种方法产生一次性TL，后一种方法是少样本TL的例子。两种方法对于非线性PDE都是近似的。