不可居松材料中声子的数学基础

在某些模型中，可在全局 $\ell^2$ 或局部扰动下证明周期配置是稳定的。这一点对于无规则介质并不成立。我们感兴趣的无规则介质类别源于将两个二维周期晶体平行堆叠并以相对扭转方式堆叠。在周期介质中，声子是来自机械能的 $\ell^2$ 上作用于稳定算子的广义特征向量。我们的分析目标是为给定的无规则介质类别提供声子意义。正如在 1 维 Frenkel-Kontorova 模型中严格建立的，并且如前所述由作者之一所应用的那样，我们假设可以通过连续堆叠-周期函数来参数化相对于局部扰动的最小化晶格变形，此处我们之前推导了连续能量密度泛函。此类（连续）能量密度在分析上和计算上都显然比离散能量泛函更易获取。为了传递到基于 $\ell^2$ 的能量泛函，我们还研究相对于给定晶格变形的偏移能，在 $\ell^1$ 扰动下。我们的发现表明，在未变形的双层异质结构中，尽管能量密度可在单个层稳定性假设下证明稳定，但在扭转双层石墨烯中，偏移能无法证明稳定。我们随后建立了偏移能相对于放松晶格的稳定性和不稳定性条件。最后，我们表明，在不可居松的双层同质结构中，即两个相等的层，如果我们选择根据上述全局能量密度进行最小化变形，偏移能在扭转角为零的极限情况下是稳定的。因此，在这种情况下，可以将声子定义为相对于与偏移能相关的稳定算子的广义特征向量。