重访 Luby–Veličković–Wigderson：深度二电路的相关界改进与伪随机生成器

我们研究由一扇 $\mathsf{SYM}$ 门（计算任意对称函数）或 $\mathsf{THR}$ 门（计算任意线性阈值函数）接收 $S$ 扇 $\mathsf{AND}$ 门输出所构成的深度二电路的相关界与伪随机生成器（PRG）。此类电路在 Luby、Veličković 和 Wigderson [LVW93] 早期具影响力的无条件下随机化工作中被考虑，他们给出了首个非平凡 PRG，其种子长度为 $2^{O(\sqrt{\log(S/\varepsilon)})}$，可 $\varepsilon$-愚弄这些电路。本文中我们取得对 [LVW93] 种子长度的首次严格改进：我们构造了一个 PRG，可在 $\{0,1\}^n$ 上 $\varepsilon$-愚弄规模为 $S$ 的 $\{\mathsf{SYM},\mathsf{THR}\} \circ\mathsf{AND}$ 电路，种子长度为 $$2^{O(\sqrt{\log S })} + \mathrm{polylog}(1/\varepsilon),$$ 这是对 [LVW93] 中 $\varepsilon$ 依赖关系的指数级（且近最优）改进。上述 PRG 实际上是我们为含多个 $\mathsf{SYM}$ 或 $\mathsf{THR}$ 门的常数深度电路所建立更一般 PRG 的特例，其特例包括 $\{\mathsf{SYM},\mathsf{THR}\} \circ \mathsf{AC^0}$ 电路。这些更一般的结果加强了 Viola [Vio06] 的先前结果，并本质上加强了 Lovett 和 Srinivasan [LS11] 的近期结果。我们改进的 PRG 源于改进的相关界，后者通过 Nisan–Wigderson 的“硬度对随机性”范式 [NW94] 转化为 PRG。我们改进相关界的关键在于使用了 Håstad [Hås14] 近期提出的强大\emph{多切换}引理。