来自一致性指数的损失函数

我们检讨了一致性指数损失函数 $L_W$ 的理论性质，该函数是環境科学和工程学中常用指标一致性指数（index of agreement）的反向定向版本。我们证明了 $L_W$ 受限于 [0, 1]，具有平移和尺度不变性，以及在拟合分布时估计参数 $\Bbb{E}_{F}[\underline{y}] \pm \Bbb{V}_{F}^{1/2}[\underline{y}]$。我们提出 $L_{\operatorname{NR}_2}$ 作为理论改进，该函数将 $L_W$ 的分母替换为欧几里得距离之和，更贴合其背后几何直觉。该新损失函数保留了 $L_W$ 的优异特性，同时为线性模型参数估计提供闭式解。我们指出，当预测变量与因变量之间的相关性趋近于1时，平方误差、$L_{\operatorname{NR}_2}$ 和 $L_W$ 的参数估计值会收敛。这种行为在水文模型校准（水资源工程中的核心任务）中得到体现，在该情形下，性能在这些损失函数之间几乎相同。最后，我们提出了针对现有 $L_p$ 范数版本的一致性指数的潜在改进。