图上离散统计模型的圈级数

在本文中，我们给出了 \cite{06CCa} 中引入的圈微积分的推导细节、逻辑和动机。三个相互关联的离散统计模型的生成函数各自表示为有限级数的形式。级数中的第一项对应于 Bethe-Peierls（Belief Propagation）-BP 贡献，其他项由因子图上的圈标记。所有圈贡献都是在 BP 方法内计算的自旋关联函数的简单有理函数。我们讨论了圈级数的两种替代推导。一种方法实现了一组对连续场的局部辅助积分，其中 BP 贡献对应于被积函数的鞍点值。在 \cite{06CCa} 中简要说明的互补方法中，积分被求和替代。两种方法中都揭示了一种局部规范对称变换，它阐明了 BP 解的一个重要不变特征。在规范变换下，配分函数保持不变，而各项发生变化。要求所有各项仅在因子图中的闭合圈（而非具有松散端点的路径）上非零，等价于将级数中的第一项固定为恰好等于 BP 贡献。讨论了圈微积在统计物理、计算机与信息科学问题中的进一步应用。