关于带噪声优化问题中随机重量弹动力学的长期分析

在可分离的实 Hilbert 空间中，我们研究最小化具有 Lipschitz 连续梯度的凸函数的优化问题，同时存在噪声评估。为此，我们关联一个带有摩擦系数的随机重量弹系统，以该优化问题为准。我们建立了该系统轨迹解的存在性和唯一性。在扩散项满足平方可积性条件下，我们证明了轨迹过程几乎必然收敛于最优解，以及其时间导数几乎必然收敛于零。此外，我们推导了沿轨迹的函数值相对于最低值的几乎必然收敛率和期望收敛率。最后，我们表明，对于适当的参数函数，随机重量弹系统等价于 Su-Boyd-Cand\`{e}s 类型系统，并为后者提供相应的收敛率结果。在本文的后半部分，我们将分析扩展到优化框架之外，探讨由单调算子引起的单调方程，其评估被假定为受噪声污染。如前所述，我们考虑一个带有摩擦系数和校正项的随机重量弹系统，现在还额外添加了一个 accounting operator 时间导数的分量。我们为轨迹过程及其时间导数建立了类似的收敛结果，并推导了沿轨迹残差和间隙函数的衰减的几乎必然收敛率和期望收敛率。作为最终结果，我们表明，单调方程的特定随机重量弹系统等价于一个阻尼项趋于零的随机二阶动力学系统。惊人的是，该系统在残差和间隙函数上表现出快速收敛率。