非二元字母表上 Goldreich 生成器的线性规划松弛

Goldreich 提出了包含在 $\mathsf{NC}^0$ 中的单向函数和伪随机生成器的候选方案。已知对于足够大的常数 $C$，使用 $(r-1)$-wise 独立谓词、具有 $n$ 个输入变量和 $m=C n^{r/2}$ 个输出变量的随机生成的 Goldreich 生成器，大概率不是伪随机生成器。大多数先前的工作假设字母表是二元的，并仅使用适用于二元字母表的技术。在本文中，我们处理 Goldreich 生成器的非二元推广，并利用局部边缘多胞形推导了针对随机生成的 Goldreich 生成器的线性规划松弛攻击的紧阈值。我们假设已知 $u(n)\in \omega(1)\cap o(n)$ 个输入变量。在这种情况下，我们证明当 $r\ge 3$ 时，存在一个精确阈值 $\mu_\mathrm{c}(k,r):=\binom{k}{r}^{-1}\frac{(r-2)^{r-2}}{r(r-1)^{r-1}}$，使得对于 $m=\mu\frac{n^{r-1}}{u(n)^{r-2}}$，若 $\mu>\mu_\mathrm{c}(k,r)$，则 LP 松弛可以确定 Goldreich 生成器中线性数量的输入变量；若 $\mu<\mu_\mathrm{c}(k,r)$，则 LP 松弛无法确定 Goldreich 生成器中 $\frac1{r-2} u(n)$ 个输入变量。本文利用称为二分图上停止集的组合结构来刻画 LP 解，这与一种称为剥皮算法的简单算法相关。