具有多对数极小极大遗憾的线性 Bandit

我们研究了一种线性随机 Bandit 的噪声模型，其中当我们在单位球面上选择越来越接近未知向量的动作时，次高斯噪声参数线性消失。我们针对该问题提出了一种算法，其极小极大遗憾随时间视界 $T$ 呈 $\log^3(T)$ 缩放，这与典型 Bandit 算法的平方根缩放形成鲜明对比。我们的策略基于加权最小二乘估计，通过与噪声模型无关且可能具有独立意义的几何论证，在每个时间步 $t$ 为设计矩阵 $V_t$ 实现特征值关系 $\lambda_{\min} ( V_t ) = \Omega (\sqrt{\lambda_{\max}(V_t ) })$。这使我们能够严格控制每个时间步的期望遗憾为 $O(\frac1{t})$ 量级，从而导致累积遗憾的对数缩放。