有向边自排斥随机游走轨迹的极限定理

有向边自排斥随机游走在2008年由Tóth和Vető引入，作为$\mathbb{Z}$上的最近邻随机游走，它是非马尔可夫的：在每一步，穿越有向边的概率取决于该有向边先前被穿越的次数。Tóth和Vető发现该游走具有非常奇特的行为，并猜想若以$(X_m)_{m\in\mathbb{N}}$记此游走，则对任意$t \geq 0$，当$N$趋于$+\infty$时，量$\frac{1}{\sqrt{N}}X_{\lfloor Nt \rfloor}$依分布收敛于非平凡极限，但过程$(\frac{1}{\sqrt{N}}X_{\lfloor Nt \rfloor})_{t \geq 0}$不依分布收敛。在本文中，我们不仅证明了$(\frac{1}{\sqrt{N}}X_{\lfloor Nt \rfloor})_{t \geq 0}$在标准Skorohod拓扑下不存在分布极限，更重要的是证明了随机游走的轨迹仍满足一种新型的极限定理。具体而言，我们证明对于适当小于$N$的$n$以及一大类停时$T_N$，过程$(\frac{1}{n}(X_{T_N+tn^{3/2}}-X_{T_N}))_{t \geq 0}$依分布收敛于非平凡极限。证明部分依赖于反射与吸收布朗运动的组合，这本身可能具有独立的意义。