求解含不连续解的标量双曲方程的提升与嵌入学习方法
数值分析
2025-03-18 v2 数值分析
摘要
利用自动微分计算导数且无色散或耗散误差的深度学习方法，最近作为求解双曲守恒律的经典基于网格的数值方案的有力替代方案崭露头角。然而，双曲问题的解通常为分段光滑，这对训练神经网络以捕捉解的不连续性和界面跳跃构成了挑战。本文提出一种新颖的提升与嵌入学习方法，以有效应对这些挑战。该方法包含三个创新组成部分：(i) 通过引入增广变量将 Rankine-Hugoniot 条件嵌入到高一维空间中；(ii) 利用神经网络处理增加后的维度，并在一个统一的免网格学习框架中处理线性和非线性问题；(iii) 将训练好的模型投影回原始物理域以获得近似解。值得注意的是，不连续点的位置也可作为可训练参数在我们的方法中处理，并与神经网络解的训练同步推断。仅在分段曲面上而非在整个提升空间中采样配置点，我们通过大量数值实验证明，该方法可以高效且准确地求解含不连续解的标量双曲方程，且不会出现虚假的抹平或振荡。
引用
@article{arxiv.2411.05382,
title = {Lift-and-Embed Learning Methods for Solving Scalar Hyperbolic Equations with Discontinuous Solutions},
author = {Qi Sun and Zhenjiang Liu and Lili Ju and Xuejun Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2411.05382},
year = {2025}
}