图约束下高斯分布的潜因子分析

我们探讨了当总体协方差矩阵 $\Sigma_x$ 具有额外的潜图约束（即潜星型拓扑）时，凸优化问题约束最小迹因子分析（CMTFA）解空间的代数结构。特别地，我们证明了 CMTFA 的解要么秩为 $1$，要么秩为 $n-1$，其间无解。秩 $1$ 解的特殊情形对应于仅一个潜变量捕获所有可观测变量间依赖关系，从而产生星型拓扑。我们找到了 $\Sigma_x$ 的 CMTFA 解中秩 $1$ 与秩 $n-1$ 解的显式条件。作为构建更一般高斯树的基本尝试，我们给出了多个簇（每个具有秩 $1$ CMTFA 解）满足最小概率组合以构建高斯树的必要条件与充分条件。为支持我们的分析结论，我们给出了一些数值以展示本工作贡献的实用性。