基于 banded Toeplitz 系统的泊松方程变分量子算法

对于求解泊松方程，通常可以将其离散化为求解相应的线性方程组 $Ax=b$。之前已研究了用于离散化泊松方程的变分量子算法（VQA）。本文给出一种基于 banded Toeplitz 系统的 VQA，用于求解具有矩阵 $A$ 结构特征的泊松方程。具体而言，我们将矩阵 $A$ 和 $A^2$ 分解为对应的 banded Toeplitz 矩阵与仅包含少数非零元素的稀疏矩阵的线性组合。对于不同边界条件下的一维泊松方程以及具有 Dirichlet 边界条件的 $d$ 维泊松方程，分解项的数量少于文献[Phys. Rev. A 108, 032418 (2023)]中的工作量。基于矩阵分解，我们设计了高效评估代价函数的量子电路。此外，数值仿真验证了所提出算法的可行性。最后，本文给出了针对 $K$ -banded Toeplitz 矩阵 $T_n^K$ 的 VQA，用于求解线性方程组和矩阵-向量乘法，其中 $T_n^K \in R^{n\times n}$ 且 $K \in O({\rm ploy}\log n)$。