基于 Fisher 信息的分布式估计 $L_q$ 下界

Van Trees 不等式，也称为贝叶斯 Cramér-Rao 下界，是通过 Fisher 信息建立极小极大估计下界的有力工具。它很容易适应不同的统计模型，并且通常产生紧致的下界。最近，其应用已扩展到具有隐私和通信约束的分布式估计中，在平方 $L_2$ 损失下，它为各种参数任务产生了阶数最优的极小极大下界。然而，Van Trees 不等式被普遍认为的一个缺点是它仅限于平方 $L_2$ 损失。本文的目的是通过引入 Van Trees 不等式的强化版本来消除这种观念，该强化版本基于 Efroimovich 不等式（一种可追溯至 1970 年代的鲜为人知的熵不等式）适用于一般的 $L_q$ 损失函数。然后，我们应用广义 Van Trees 不等式来界定通信和局部差分隐私约束下分布式极小极大估计中的 $L_q$ 损失。这导出了适用于顺序交互和黑板通信协议的 $L_q$ 损失下界。此外，我们展示了如何使用广义 Van Trees 不等式来获得局部和非渐近的极小极大结果，这些结果捕捉了在有限样本量下估计每个实例的困难程度。