求解区间离散对数问题的袋鼠法

区间离散对数问题定义如下：给定群 $G$ 中的某些 $g,h$ 以及某个 $N \in \mathbb{N}$，使得对于某个满足 $0 \leq z < N$ 的 $z$ 有 $g^z=h$，求 $z$。目前，袋鼠法是解决区间离散对数问题最佳的低内存算法。解决此问题最快的非并行化袋鼠法是三只袋鼠法和四只袋鼠法，它们的预期平均运行时间分别为 $\big(1.818+o(1)\big)\sqrt{N}$ 和 $\big(1.714 + o(1)\big)\sqrt{N}$ 次群运算。目前尚不清楚是否可以通过使用超过四只袋鼠来改进袋鼠法。在本论文之前，使用超过四只袋鼠的最快袋鼠法需要至少 $2\sqrt{N}$ 次群运算来解决区间离散对数问题。在本文中，我通过提出一种预期平均运行时间为 $\big(1.7195 + o(1)\big)\sqrt{N} \pm O(1)$ 次群运算的七只袋鼠法，显著提高了使用超过四只袋鼠的方法的运行时间，几乎超越了最快的袋鼠算法。本文还回答了“五只袋鼠是否比三只更差？”这一问题，因为我提出了一种五只袋鼠算法，平均需要 $\big(1.737+o(1)\big)\sqrt{N}$ 次群运算来解决区间离散对数问题。