二色图的 (Δ-1) 色彩

1977 年，Borodin 和 Kostochka 猜想着ires every graph with maximum degree $\Delta \geq 9$ is $(\Delta-1)$-colorable, unless it contains a clique of size $\Delta$。1999 年，Reed 证实了当 $\Delta\geq 10^{14}$ 时的猜想。我们提出了该猜想在二向igraph 上的 various 推广，并证明了每个的等价结果。色彩数和 clique 数被分别替换为二色数和 biclique 数。若 $D$ 是一个二向igraph 使得 $\min(\tilde{\Delta}(D),\Delta^+(D)) = \Delta \geq 9$，我们猜想 $D$ 的二色数至多为 $\Delta-1$，除非 (i) $D$ 包含大小为 $\Delta$ 的 biclique，或 (ii) $D$ 包含大小为 $\Delta-2$ 的 biclique $K$、一个不相交于 $K$ 的有向 3 环 $\vec{C_3}$，以及 $K$ 与 $\vec{C_3}$ 之间所有可能的弧的双向。若该猜想成立，则可推出 Borodin 和 Kostochka 的猜想。我们在 $\Delta$ 足够大时证明了它，从而概括了 Reed 的结果。我们最终给出了一个充分条件，使得二向igraph $D$ 的二色数至多为 $\Delta_{\min}(D)-1$，假设 $\Delta_{\min}(D)$ 足够大。特别是，当 underlying graph of $D$ 不包含大小为 $\Delta_{\min}(D)$ 的 clique 时，该条件成立，从而产生了对 Reed 结果的第三个独立推广。我们进一步给出一个 hardness 结果，证明我们的充分条件是最佳的。为获得这些关于二色数的新 upper bound，我们证明了一个关于 maximum degree 很大的二向igraph 的稠密分解引理，这概括了 Molloy 和 Reed 所述的图的稠密分解。我们认为这可能独立地具有兴趣，尤其是作为 various 应用中的工具。