Kadanoff 沙堆：追随雪球效应

本文研究在一维整齐堆积的柱体上移动的立方体沙粒（物理沙堆是二维的，但沙柱的支撑是一维的）。Kadanoff 沙堆模型是一个离散动力系统，描述了有限数量的堆叠沙粒（如同从沙漏中落下）演化至稳定构型的过程。沙粒根据简单局部规则的重复应用进行移动，直到达到无法应用任何规则的稳定构型，即不动点。该模型的主要兴趣点在于，尽管规则简单，理解其行为却十分困难。我们致力于根据初始堆叠沙粒的数量来描述不动点构型的形状。在本文中，我们证明了不动点上波浪状形状的出现，即规则图案在不动点上（几乎）周期性地重复。有趣的是，该规则图案并未覆盖整个不动点，而是最终从一个看似高度无序的片段中涌现。幸运的是，未被图案重复覆盖的不动点部分的相对尺寸在渐近意义上为零。