K-Deep Simplex：基于局部字典的深度流形学习

我们提出 K-Deep Simplex（KDS），其在给定数据点集合的条件下，学习一个由合成地标点构成的字典，以及支撑于单纯形上的表示系数。KDS 采用局部加权 $\ell_1$ 惩罚，鼓励每个数据点以邻近地标的凸组合来表示自身。我们使用交替最小化求解所提优化问题，并通过算法展开设计了一种高效、可解释的自动编码器。我们将 KDS 中的加权 $\ell_1$ 惩罚与加权 $\ell_0$ 规划相联系，从理论分析了所提规划。假设数据由德劳内三角剖分生成，我们证明了加权 $\ell_1$ 与加权 $\ell_0$ 规划的等价性。我们进一步在温和几何假设下展示了表示系数的稳定性。若表示系数固定，我们证明关于字典最小化子问题存在唯一解。此外，我们表明低维表示可由系数矩阵的协方差高效获得。实验表明该算法高效，并在合成与真实数据集上表现具竞争力。