简单连通图的 McPherson 数 $\Upsilon(G)$ 导论

本文引入了简单连通图 $G$（具有 $n$ 个顶点）的\emph{McPherson 数}概念，记为 $\Upsilon(G)$。这一递归概念称为\emph{McPherson 递归}，是一系列\emph{顶点爆炸}过程：在第一次迭代中，顶点 $v \in V(G)$ 爆炸产生指向所有满足边 $vu \notin E(G)$ 的顶点 $u \in V(G)$ 的弧（有向边），从而得到混合图 $G'_1$。现在在第二次迭代中考虑 $G'_1$，若边 $wz \notin E(G)$ 且弧 $(w, z)$ 或 $(z, w) \notin E(G'_1)$，则顶点 $w \in V(G'_1) = V(G)$ 可爆炸产生指向所有顶点 $z \in V(G'_1)$ 的弧。简单连通图 $G$ 的\emph{McPherson 数}是指获得混合图 $G'_\ell$ 所需的最小迭代顶点爆炸次数 $\ell$，使得 $G'_\ell$ 的底层图（记为 $G^*_\ell$）满足 $G^*_\ell \simeq K_n$。我们确定了路径、圈和 $n$-部图的\emph{McPherson 数}。我们还确定了有限 Jaco 图 $J_n(1), n \in \Bbb N$ 的\emph{McPherson 数}。希望本文能鼓励进一步的探索性研究。