物理信息统计流形的信息几何及其在数据同化中的应用

数据感知分布方法（DA-MD）是一种低维数据同化过程，用于预报由微分方程描述的动力系统行为。它将序贯贝叶斯更新与 MD 相结合，前者利用可用观测，后者传播不确定系统状态（联合）概率分布。DA-MD 的核心是在分布意义上最小化观测与预测之间的距离，先验与后验分布约束于由 MD 定义的统计流形上。我们利用统计流形的信息几何性质，通过数据同化降低预测不确定性。具体而言，我们借助由两种差异度量——Kullback-Leibler 散度和 Wasserstein 距离——诱导的信息几何结构，其显式给出自然梯度下降。为进一步加速优化，我们构建深度神经网络作为 MD 的替代模型，以实现自动微分。流形几何在无采样下被量化，从而精确近似梯度下降方向。数值实验表明，考虑流形的信息几何通过便利梯度计算并减少所需迭代次数，显著降低了数据同化的计算成本。存储需求与计算成本均依赖于统计流形的维数，而该维数按 MD 构造通常较小。收敛时，Kullback-Leibler 与 $L_2$ Wasserstein 度量性能相近，前者对先验的不良选择更为敏感。