微分同胚群的信息几何

微分同胚群的研究及其在分析与几何问题中的应用有着悠久的历史。在由 V. Arnold 于 20 世纪 60 年代开创的几何流体力学中，人们将理想流体流动视为流体域保体积微分同胚无穷维群上由动能定义的度量下的测地运动。在密度空间上的类似考虑导出了最优质量传输与 Kantorovich-Wasserstein 度量的几何描述。同样，与 Fisher-Rao 度量和 Hellinger 距离相关联的信息几何具有同样优美的无穷维几何描述，并可被视为最优传输的高阶 Sobolev 类比。在这项工作中，我们回顾了与此方法相关的微分同胚群上的各种度量，并在相应的无穷维流形上引入了适当的拓扑、光滑结构与动力学。我们的主要目标是展示，与拓扑流体力学、Hamilton 动力学和最优质量传输一起，以其精巧工具箱为特色的信息几何如何成为微分同胚群上几何分析的又一个令人兴奋的应用领域。