形式语言中的信息内容

受构建物理理论的启发，本文考虑带变量的形式语言 $S$，并通过公式 $d(x,y)= \ell(x \nabla y) - \ell(x) \wedge \ell(y)$ 定义语言中元素之间的一种距离，其中 $\ell$ 为长度函数，$x \nabla y$ 表示 $x$ 与 $y$ 的联合理论。实际上我们主要考虑配备长度函数 $\ell$ 的抽象阿贝尔幂等幺半群 $(S,\nabla)$。长度函数集合可投影到另一长度函数集合，使得距离 $d$ 实际成为伪度量并满足 $d(x\nabla a,y\nabla b) \le d(x,y) + d(a,b)$。我们还提出了 $S$ 中元素的布尔表达式集合上的一种“符号测度”，以及配备长度函数的阿贝尔幂等幺半群或形式语言之间的类 Banach-Mazur 距离。