暴胀宇宙学、直线的微分同胚群与 Virasoro 余伴随轨道

由自相互作用标量场驱动的宇宙学场方程，在动力学上等价于通过对具有底层非相对论共形 $SL(2,\mathbb{R})$ 对称性的非线性薛定谔方程应用矩方法而得到的一个封闭方程组。我们考虑与强排斥稀薄玻色气体相关的一维五次薛定谔方程。微分同胚群在薛定谔算子空间上的作用产生一个谐振陷阱势，该势可等同于宇宙学标量场的动能。暴胀宇宙学由德西特解轨道上的点表示，该轨道是商流形 ${\rm Diff}(\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{R})$。微分同胚的 Schwarzian 导数与 Ermakov-Pinney 方程起着关键作用。底层的 $SL(2,\mathbb{R})$ 对称性导致一个确保能量-动量守恒的第一积分约束。当分析限制于圆上微分同胚的万有覆盖群时，滚动标量场的产生可通过 Virasoro 余伴随作用来理解。余伴随轨道对应的辛二形式与哈密顿生成元由标量场动能确定。