一维量子行走与元胞自动机的指标理论

如果一个一维量子晶格系统经历一步可逆离散时间动力学，那么直观上，从左侧进入任何给定格点块的“量子信息”量，必须等于从该块右侧流出的量。对于两类这样的系统——即量子行走和元胞自动机——我们通过定义一个指标（衡量通过系统的“量子信息净流”的量）使这一直觉精确化。该指标提供了离散动力学两个性质的完整刻画。首先，两个系统S_1、S_2可以拼接在一起，即存在一个系统S，它在某个区域局部地像S_1一样作用，在另一个区域像S_2一样作用，当且仅当S_1和S_2具有相同的指标。其次，该指标标记了此类系统的连通分支：指标相等是存在从S_1到S_2的连续形变的充分必要条件。对于量子行走，指标取整数值，而对于元胞自动机，它取正有理数群中的值。在这两种情况下，若将离散动力学的复合作为量子系统的群法则，则映射S -> ind S是一个群同态。具有平凡指标的系统正是那些可以通过分块酉算子实现的系统，而具有非平凡指标的原型系统是平移算子。