关联几何与半流式集合覆盖的遍复杂度

大小为 $n$ 的全集上的集合覆盖可建模为数据流式问题，其中构成实例的 $m$ 个集合被逐一读取。半流式算法仅被允许 $O(n\, \mathrm{poly}\{\log n, \log m\})$ 空间来处理该流。对于每个 $p \ge 1$，我们给出一种非常简单的确定性算法，其对输入流进行 $p$ 遍扫描，并返回对最优集合覆盖的经过适当认证的 $(p+1)n^{1/(p+1)}$-近似。更重要的是，我们进一步表明该近似因子本质上是紧的，即证明了对于 $p$ 遍半流式算法，即便允许随机化，优于 $0.99\,n^{1/(p+1)}/(p+1)^2$ 的因子也是不可实现的。特别地，这意味着实现 $\Theta(\log n)$-近似需要 $\Omega(\log n/\log\log n)$ 遍，其紧性直至 $\log\log n$ 因子。这些结果推广到集合覆盖问题的一个松弛版本，其中允许使全集的 $\varepsilon$ 比例未被覆盖：在 $p$ 遍中可实现的最佳近似因子的紧界为 $\Theta_p(\min\{n^{1/(p+1)}, \varepsilon^{-1/p}\})$。我们的下界基于一族高秩关联几何的构造，可视为仿射平面的巨大推广。该基于代数技术的构造显得足够灵活以发现其他应用，因此本身也很有趣。