复平面上独立集多项式的不可逼近性

我们研究当活性 $\lambda$ 为复数时,逼近最大度数为 $\Delta$ 的图 $G$ 的独立集多项式 $Z_G(\lambda)$ 的复杂度。利用与 $\Delta$-正则树 $T$ 的联系,该问题在 $\lambda$ 为实数时已得到充分理解。该情形下的关键概念是树 $T$ 的“占据比”。该比值为包含树根的独立集对 $Z_T(\lambda)$ 的贡献除以 $Z_T(\lambda)$ 本身。若 $\lambda$ 使得当树高增长时占据比收敛于极限,则在最大度数 $\Delta$ 的图 $G$ 上存在逼近 $Z_G(\lambda)$ 的FPTAS。否则,逼近问题是NP难的。不足为奇, $\lambda$ 为复数的情形更具挑战性。Peters与Regts确定了 $\Delta$-正则树的占据比收敛的复数 $\lambda$ 值。这些值在复平面中刻画出一个心形区域 $\Lambda_\Delta$。受实数情形图像的启发,他们询问 $\Lambda_\Delta$ 是否标定了一般复数值 $\lambda$ 的真实可逼近阈值。我们的主要结果表明,对于 $\Lambda_\Delta$ 之外的每个 $\lambda$,在最大度数不超过 $\Delta$ 的图 $G$ 上逼近 $Z_G(\lambda)$ 的问题确实是NP难的。事实上,当 $\lambda$ 在 $\Lambda_\Delta$ 之外且不是正实数时,我们给出更强结果:逼近 $Z_G(\lambda)$ 实际上是#P难的。若 $\lambda$ 是 $\Lambda_\Delta$ 之外的负实数,我们证明判定 $Z_G(\lambda)>0$ 是否为真都是#P难的,肯定了Harvey、Srivastava与Vondrak的一个猜想。我们的证明技术基于复分析工具——具体为对迭代多元有理映射的研究。