针对多重边失效的改进最短路径恢复引理：容错性与子路径之间的权衡

恢复引理是 Afek、Bremler-Barr、Kaplan、Cohen 和 Merritt [PODC '01] 的一个经典结果，它将图 $G$ 中某些边失效前后最短路径的结构联系起来。他们的工作表明，在一次边失效后，任何避开该失效边的替换最短路径可划分为两条失效前的最短路径。更一般地，这暗示了容错性与子路径数量之间的可加权衡：对任意 $f, k$，我们可将任意 $f$ 边失效替换最短路径划分为 $k+1$ 条子路径，每条均为 $(f-k)$ 边失效替换最短路径。这一推广结果已应用于路由、图算法、容错网络设计等诸多领域。我们的主要结果将其改进为容错性与子路径数量之间的可乘权衡。我们证明对所有 $f, k$，任意 $f$ 边失效替换路径可划分为 $O(k)$ 条子路径，每条均为 $(f/k)$ 边失效替换路径。我们还给出了渐近匹配的下界。特别地，我们的结果意味着原始恢复引理在 $k=1$ 时恰好紧，但对更大的 $k$ 可显著改进。我们还展示了该结果到带权输入图的推广，并给出了计算满足我们改进恢复引理的路径分解的高效算法。