利用有效电阻估计改进的量子回溯算法

我们研究了 Montanaro (arXiv:1509.02374) 先前提出的一类量子回溯算法。这些算法探索结构未知的树，并且在某些情况下相对于经典过程（如 DPLL）具有指数级优势。先前的一些工作集中于在承诺存在唯一标记顶点的树上获得量子优势。我们去掉了这一限制，并用搜索空间的有效电阻重新刻画了该问题。为此，我们将 Montanaro 的算法之一推广到包含 $k \geq 1$ 个标记顶点的树，其中 $k$ 不一定事先已知。我们的方法涉及使用振幅估计来确定扩散算子的近最优加权，然后可将其应用于制备一个叠加态，该态仅支撑于标记顶点及其祖先上。通过重复采样该态并更新输入顶点，可在对数步数内到达一个标记顶点。该算法从而实现了寻找单个标记顶点的猜想界 $\widetilde{\mathcal{O}}(\sqrt{TR_{\mathrm{max}}})$ 以及寻找所有 $k$ 个标记顶点的 $\widetilde{\mathcal{O}}\left(k\sqrt{T R_{\mathrm{max}}}\right)$，其中 $T$ 是树大小的上界，$R_{\mathrm{max}}$ 是算法遇到的最大有效电阻。这在任意树中寻找一个和多个标记顶点的情况下均比 Montanaro 的原始过程实现了加速。如果没有标记顶点，有效电阻变为无穷，我们恢复了 Montanaro 存在性算法的标度。