通过势景修正改进用于随机优化的 Langevin Monte Carlo

给定待最小化的目标函数 H，或在低温下待采样的目标 Gibbs 分布 π_β^0 ∝ e^{-β H}，本文提出并分析了在由 H^f_{β,c,1} 指定的替代势景上运行、并以修正 Gibbs 分布 π^f_{β,c,1} ∝ e^{-β H^f_{β,c,1}} 为目标的 Langevin Monte Carlo（LMC）算法，其中 H^f_{β,c,1} 的势景是 H 势景的变换版本，依赖于参数 f、β 和 c。虽然与 π^0_β 相关的原始对数 Sobolev 常数在低温区间对 β 和能垒 M 均呈指数依赖，但在适当调节这些参数且对 H 作一定假设下，我们证明了变换后势景的能垒被降低，从而使得与 π^f_{β,c,1} 相关的修正对数 Sobolev 常数对 β 和 M 均呈多项式依赖。这给出了改进的总变差混合时间界以及向 H 全局最小值改进的收敛性。我们强调，本文发展的技术不仅限于 LMC，还广泛适用于其他基于梯度的优化或采样算法。