松弛优美树的改进界

我们引入了具有特定表示的左右分层树，并定义了树的超出量。应用这些思想，我们展示了一种范围松弛优美标号，改进了 Van Bussel 给出的最大顶点标号的上界。对于树为大小为 $m$ 且直径为 $d$ 的龙虾树的情况，该标号产生的顶点标号不大于 $\frac{3}{2}m-\frac{1}{2}d$。此外，我们证明，对于具有 $m$ 条边且直径为 $d$ 的任意龙虾树 $T$，存在一个边松弛优美二部标号，其中至少有 $\max\{\frac{3m-d+6}{4},\frac{5m+d+15}{8}\}$ 个边权值是互异的，这在 $d<\frac{m+22}{7}$ 且 $d>\frac{5m-65}{7}$ 的条件下，改进了 Rosa 和 \v{S}ir\'{a}\v{n} 给出的树的 $\alpha$-大小界。我们还证明，存在一个边松弛优美标号（不一定是二部的），其中至少有 $\max\left\{\frac{3}{4}m+\frac{d-\nu}{8}+\frac{3}{2},\nu\right\}$ 个边权值是互异的，其中 $\nu$ 是 $T$ 的部分匹配大小的两倍。对于某些 $\nu$ 和 $d$ 的值，这改进了 Rosa 和 \v{S}ir\'{a}\v{n} 的优美大小界。我们将这些结果视为迈向 Bermond 猜想的一步。