II. 非线性相互作用暗能量：解析解与理论病态

我们研究了具有唯象非线性相互作用核 $Q$ 的相互作用暗能量 (IDE) 模型，具体为 $Q_{1}=3H\delta \left(\frac{\rho_{\rm dm}\rho_{\rm de}}{\rho_{\rm dm}+\rho_{\rm de}}\right)$，$Q_{2}=3H\delta \left(\frac{\rho_{\rm dm}^2}{\rho_{\rm dm}+\rho_{\rm de}}\right)$ 和 $Q_{3}=3H\delta \left(\frac{\rho_{\rm de}^2}{\rho_{\rm dm}+\rho_{\rm de}}\right)$。利用我们在关于线性核的姊妹篇中发展的动力学系统技术，我们推导出了确保能量密度为正且定义良好的新条件，以及避免未来大撕裂奇点的判据。我们发现，对于 $Q_{1}$，所有密度均保持为正；而对于 $Q_{2}$ 和 $Q_{3}$，如果能量从暗物质 (DM) 流向暗能量 (DE)，则 DM 或 DE 出现负值是不可避免的。我们还表明，对于 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$，在幽灵区域 $w<-1$ 中总会出现大撕裂奇点；而对于 $Q_{3}$，如果能量从 DE 流向 DM，则可能避免这一命运。此外，我们在 $Q_{2}$ 和 $Q_{3}$ 的情况下给出了 $\rho_{\rm dm}$ 和 $\rho_{\rm de}$ 新的精确解析解，并获得了 DM、DE、总流体的有效状态方程以及重构的动力学 DE 状态方程 ($w_{\rm dm}^{\rm eff}$, $w_{\rm de}^{\rm eff}$, $w_{\rm tot}^{\rm eff}$ 和 $\tilde{w}$) 的新表达式。利用这些结果，我们讨论了幽灵穿越，评估了每种核如何解决巧合问题，并应用状态诊断来比较各模型。这些发现扩展了对非线性 IDE 模型的理论理解，并为未来的观测约束提供了解析工具。