如何计算多项式在单位圆上的零点个数？
复变函数
2020-09-15 v2 组合数学
摘要
计算实多项式实零点个数的经典问题早在很久以前由Sturm解决。然而，计算多项式在单位圆上零点个数的类似问题仍是一个未决问题。本文中，我们表明第二个问题可借助一对合适的M"obius变换——常称为Cayley变换——归约为第一个问题，此类变换具有将单位圆映射到实直线及反之的性质。尽管该方法适用于任意复多项式，我们详细讨论了若干具有对称零点的多项式类，例如自共轭、自伴、自反演、自互反与斜互反多项式的情形。最后，还讨论了该方法在Salem多项式与具有小Mahler测度的多项式上的应用。
引用
@article{arxiv.1902.04231,
title = {How to count the number of zeros that a polynomial has on the unit circle?},
author = {R. S. Vieira},
journal= {arXiv preprint arXiv:1902.04231},
year = {2020}
}
备注
Final version. Keywords: Self-inversive polynomials, Self-reciprocal polynomials, Salem polynomials, Sturm theorem, M\"obius transformations, Cayley transformations