在稀疏图之外，树深调制器对获得多项式核有多大帮助？

在过去几年中，使用结构参数的核化一直是参数化复杂性领域内的一个活跃研究方向。作为一个相关例子，Gajarsk{\`y} 等人 [ESA 2013] 证明了满足有限整数索引性质的每个图问题在有界扩展图上存在线性核，在无处稠密图上存在几乎线性的核，其参数为 $c$-树深调制器的大小，即移除后会导致图的最大树深不超过 $c$ 的顶点集，其中 $c \geq 1$ 为固定整数。作者将研究该参数在一般图上的情况作为进一步研究，特别是寻找那些在稀疏图上存在多项式核但在一般图上表现不同的问题。在本文中，我们通过找到两个非常自然的此类问题来回答这个问题：我们证明了对于任意整数 $c \geq 1$，Vertex Cover 在一般图上存在多项式核；并证明了对于任意整数 $c \geq 2$，Dominating Set 即使在退化图上也不存在多项式核，除非 $\text{NP} \subseteq \text{coNP}/\text{poly}$。对于正面结果，我们基于 Jansen 和 Bodlaender [STACS 2011] 的技术；对于负面结果，我们对 $c\geq 3$ 使用了多项式参数变换，对 $c = 2$ 使用了 OR 交叉复合。由于现有结果意味着 Dominating Set 在 $c = 1$ 时于退化图上存在多项式核，我们的结果为在此参数下 Dominating Set 在退化图上多项式核的存在性提供了一个二分法。