Auslander 的 $k$-Gorenstein 环的同调性质

在本文中我们主要研究 $k$-Gorenstein 环上对偶模的同调性质。对右拟 $k$-Gorenstein 环 $\Lambda$，我们证明 $\Lambda$ 的右自内射维数至多为 $k$ 当且仅当每个满足对任意 $1\leq i \leq k$ 有 Ext$_{\Lambda}^i(M, \Lambda)=0$ 的 $M \in$mod $\Lambda$ 是自反的。对 $\infty$-Gorenstein 环，我们证明 $\Lambda$ 的大与小小有限维数以及自内射维数是一致的。此外，我们证明若 $\Lambda$ 是左拟 $\infty$-Gorenstein 环且 $M\in$mod $\Lambda$ 满足 grade$M$ 有限，则 Ext$_{\Lambda}^i($Ext$_{\Lambda ^{op}}^i($Ext$_{\Lambda}^{{\rm grade}M}(M, \Lambda), \Lambda), \Lambda)=0$ 当且仅当 $i\neq$grade$M$。对 2-Gorenstein 环 $\Lambda$，我们证明 $\Lambda$ 的非零真左理想 $I$ 是自反的当且仅当 $\Lambda /I$ 没有非零伪零子模。