HILUCSI：用于 PDE 大规模鞍点问题的简单、鲁棒且快速的多层 ILU

不完全分解是用于 Krylov 子空间方法求解大规模稀疏线性方程组的广泛使用的预处理技术。其多层变体，如 ILUPACK，对许多对称或非对称线性方程组比传统的单层不完全 LU（或 ILU）技术更为鲁棒。然而，先前的多层 ILU 技术对于一些常源于偏微分方程（PDEs）系统的大规模鞍点问题仍缺乏鲁棒性与效率。我们引入 HILUCSI，即面向可扩展性与基于逆丢弃的分层不完全 LU-Crout（Hierarchical Incomplete LU-Crout with Scalability-oriented and Inverse-based dropping）。作为一种多层预处理器，HILUCSI 将单个行和列静态及动态地置换到下一层以延迟分解。与 ILUPACK 不同，HILUCSI 在顶层采用对称预处理技术，但在较粗层始终使用非对称预处理与非对称分解。这种延迟结合混合预处理使得对近对称或部分对称系统得以统一处理，并通过避免对称不定系统的混合 $1\times 1$ 与 $2\times 2$ 主元简化了实现。我们表明该组合在不牺牲效率的情况下提升了对不定系统的鲁棒性。此外，为使具有数百万或更多未知量的大规模系统获得优越效率，HILUCSI 引入了面向可扩展性的丢弃结合一种基于逆丢弃的变体。我们展示了 HILUCSI 对数十个基准问题的有效性，包括来自 Poisson 方程、Stokes 方程和 Navier-Stokes 方程的混合公式的问题。我们还将其性能与 ILUPACK、SuperLU 中的 supernodal ILUTP，以及 PARDISO 和 MUMPS 中的多线程直接求解器进行了比较。