二维湍流中涡量标度的 Hilbert 统计

本文分析了二维（2D）湍流中涡量场 $\omega(x,y)$ 的逆能量级联和正向涡度级联的标度性质。这是通过将基于 Hilbert 的技术，即 Hilbert-Huang 变换，应用于由 $8192^2$ 网格点二维湍流直接数值模拟获得的涡量场来实现的，该模拟具有强迫尺度 $k_f=100$ 和 Ekman 摩擦。测得的涡量 $\omega$ 的模态 $C_i(x)$ 与瞬时波数 $k(x)$ 的联合概率密度函数 $p(C,k)$ 被强迫尺度 $k_f$ 分离为两部分，分别对应于逆能量级联和正向涡度级联。发现给定波数 $k$ 下的所有条件概率密度 $p(C|k)$ 都具有指数尾。在逆能量级联中，$p(C|k)$ 的形状彼此重合，表明非间歇级联。测得的标度指数 $\zeta_{\omega}^I(q)$ 与统计阶数 $q$ 呈线性关系，即 $\zeta_{\omega}^I(q)=-q/3$，证实了非间歇级联过程。在正向涡度级联中，$p(C|k)$ 的核心部分随波数 $k$ 变化，表明间歇正向级联。测得的标度指数 $\zeta_{\omega}^F(q)$ 与 $q$ 呈非线性关系，且可以用对数泊松拟合很好地描述：$\zeta_{\omega}^F(q)=\frac{1}{3}q+0.45\left(1-0.43^{q}\right)$。然而，提取的逆能量级联和正向涡度级联的涡量标度指数 $\zeta_{\omega}(q)$ 均与 Kraichnan 的理论预测不一致。需要二维湍流涡量场的新理论来解释观测到的标度行为。