球面上的各向同性正定函数

本文探讨了单位球面 $\sph$ 上的正定函数与欧几里得空间 $\RR^d$ 上的正定函数之间的关系。对于维数 $d$ 为奇数，发展了一种新技术，以建立正（半）定性从 $\RR^d$ 继承到 $\sph$ 及其逆向关系。对于 $d=2$，证明了函数 $$f_{\t,\delta}(t)=(\t-t)_+^\delta, \quad \delta\geq\f{d+1}2$$ 通过限制 $\t$ 在绝对范围内，可在单位球面 $\mathbb{S}^2$ 上为正定。我们的结果可以验证 R.K. Beatson、W. zu Castell、Y. Xu 以及关于球面上正定函数的尼古拉斯多项式类型准则的锐利界限。