Heavy-tailed 与 Horseshoe 先验在回归与稀疏 Besov 速率中的应用

非参数统计中遇到的函数种类繁多，要求方法能够灵活地在广泛的函数类（如 Besov 球）以及多种损失函数上实现最优或近最优性能。在本文中，我们表明，一类用于基函数系数的重尾先验分布（引入于 \cite{AC}，称为 Oversmoothed heavyTailed (OT) 先验）导致的贝叶斯后验分布满足这些要求；同时也研究了马蹄形分布的情况，首次在非参数情境中进行探讨，并证明它们符合这一框架。推导了两种情境下的后验收敛速率。首先考虑 Sobolev 滤光信号与 $L_2$ 风险问题，并给出下界结果，表明 OT 先验对先验系数施加的特定标度形式是获取完全自适应性的必要条件。其次考虑更广泛的 Besov 滤光信号与 $L_{p'}$ 风险问题 ($p' \geq 1$)，并推导出自适应于底层平滑性的 minimax 后验收敛速率，包括所谓“稀疏区”内的速率。我们提供了该方法的实现方案，并通过仿真研究说明了结果。