量子拉比模型的热核

量子拉比模型（QRM）被广泛认为是量子光学中一个尤其重要的模型。它被视为描述量子光-物质相互作用的最简单且最基础的系统。本文的目标是通过迭代积分的无穷级数显式给出哈密顿量热核的解析公式。该公式的推导基于 Trotter-Kato 乘积公式的直接求值，而未使用 Feynman-Kac 路径积分。更确切地说，热核表达式中的无穷和源于将 Trotter-Kato 乘积公式约化为无穷对称群 $\mathfrak{S}_\infty$ 在群 $\mathbb{Z}_2^{\infty}$ 上作用的轨道之和，而迭代积分则被视为每条轨道上的轨道积分。此处，群 $\mathbb{Z}_2^{\infty}$ 与 $\mathfrak{S}_\infty$ 分别是族 $\{\mathbb{Z}_2^n\}_{n\geq0}$ 与 $\{\mathfrak{S}_n\}_{n\geq0}$ 的归纳极限。为完成该约化，对阿贝尔群归纳族 $\mathbb{Z}_2^n\, (n \geq0)$ 的调和（傅里叶）分析的广泛研究以及图论考察是关键。据作者所知，这是针对非平凡现实相互作用量子系统获得热核闭式公式的首次显式计算。该模型的热核进一步由一个二乘二矩阵值函数给出，并表示为分别代表哈密顿量按宇称（$\mathbb{Z}_2$-对称性）分解的两个各自热核的直和。