格路径的片段堆

我们研究了格路径的片段堆，这为格路径提供了一种组合可视化。我们引入了两类堆：类型 $I$ 和类型 $II$。类型 $I$ 的堆以格路径的峰为特征。在类型 $I$ 的堆上，格路径 $\mu$ 与其对偶 $\overline{\mu}$ 之间存在对偶性。$\mu$ 的类型 $II$ 的堆以最低路径与 $\mu$ 之间的斜形状为特征。我们给出了通用格路径堆的生成函数的行列式表达式，并利用反演引理给出了有理 $(1,k)$-Dyck 路径的显式公式。我们引入并研究了 $k+1$ 维堆，它与 $(1,k)$-Dyck 路径的类型 $II$ 堆之间存在双射。进一步，我们展示了在有理 $(1,k)$-Dyck 路径的情况下类型 $I$ 和类型 $II$ 之间的双射对应关系。作为堆的另一应用，我们分别基于 Dyck 路径和对称 Dyck 路径上的统计量，给出了对称 Dyck 路径堆生成函数的两个显式公式。