随机池的群测试：最优两阶段算法

我们研究包含N个项目的集合的概率群测试，其中每个项目有缺陷的概率为p。我们关注小缺陷概率p<<1和大变量数N>>1的双重极限，取在$N\to\infty$之后的p->0，或取$p=1/N^{\beta}$且$\beta\in(0,1/2)$。在这两种设定下，已知通过两阶段过程确定性地识别缺陷项目所需的最优测试数$\bar T(N,p)$的标度为$Np|\log p|$。在此我们确定了$\bar T(N,p)/(Np|\log p|)$的精确渐近值，并构造了一类可实现该最优值的两阶段算法。这是通过为检测的第一阶段选择适当的二部正则图（由测试节点和变量节点组成）来实现的。此外，我们证明该最优值在所有变量具有相同度数而测试节点具有泊松分布度数的随机二部图上的平均意义下同样可以达到。最后，对于$p=1/N^{\beta}$且$\beta\in[1/2,1)$的情况，我们改进了最优测试数的现有上下界。