随机池的群测试：相变与最优策略

群测试（Group Testing）问题旨在通过形式为“池中是否至少包含一个缺陷品？”的池查询，从一组对象中识别出缺陷品。其目标当然是以尽可能少的查询完成检测，该问题在分子生物学和计算机科学等不同领域具有重要的实际应用。在此，我们在概率设定下研究群测试，重点关注缺陷概率小且对象数量大的机制，即 $p \to 0$ 和 $N \to \infty$。我们构建并分析了一阶段算法，确立了非检测/检测相变的发生，从而得出测试次数 $\bar M$ 的尖锐阈值。通过优化池设计，我们构建了其检测阈值遵循最优缩放 $\bar M\propto Np|\log p|$ 的算法。随后，我们考虑两阶段算法，并分析其在不同第一阶段池选择下的性能。特别是，通过对池进行适当的随机选择，我们构建了达到完全检测所需平均测试次数最优值（此前在文献 [16] 中确定）的算法。最后，我们讨论了有限 $p$ 情况下的最优池设计。