基于 $\ell_{p,q}$ 正则化的组稀疏优化

本文从理论、算法和应用三个方面研究基于 $\ell_{p,q}$ 正则化的组稀疏优化问题。在理论方面，通过引入组受限特征值条件的概念，我们建立了 $\ell_{p,q}$ 正则化问题任意水平集上点的预言性质和阶为 $O(\lambda^\frac{2}{2-q})$ 的全局恢复界，并借助现代变分分析技术，还对局部极小路径给出了阶为 $O(\lambda^2)$ 的恢复界局部分析。在算法方面，我们应用著名的近端梯度法求解 $\ell_{p,q}$ 正则化问题，或通过解析求解某些特定的 $\ell_{p,q}$ 正则化子问题，或使用牛顿法求解一般的 $\ell_{p,q}$ 正则化子问题。特别地，我们在一些温和条件下建立了近端梯度法求解 $\ell_{1,q}$ 正则化问题的线性收敛速率。由此，得到了近端梯度法求解通常的 $\ell_{q}$ 正则化问题（$0<q<1$）的线性收敛速率。最后在应用方面，我们在基因转录调控的模拟数据和真实数据上给出了一些数值结果。