对称流形上的 Yamabe 系统与最优划分

我们证明了当 $G$ 是 $M$ 的具有无穷轨道的紧等距群时，闭 Riemannian 流形 $(M,g)$ 上的 Yamabe 方程存在具有任意数量 $\ell\geq 2$ 个分量的正则最优 $G$ 不变划分。为此，我们研究了一个与 Yamabe 方程相关的由 $\ell$ 个方程组成的弱耦合竞争椭圆系统。我们证明该系统具有带非平凡分量的最低能量 $G$ 不变解，并证明当竞争参数趋于 $-\infty$ 时，其分量的极限轮廓在空间上分离，从而产生最优划分。对于 $\ell=2$，所得到的最优划分产生了 Yamabe 方程的一个最低能量变号 $G$ 不变解，且该解恰好有两个节点域。