Frobenius 扩张上的 Gorenstein 投射与内射维数

设 $R\subset A$ 为环的 Frobenius 扩张。我们证明：(1) 对任意左 $A$-模 $M$，$_{A}M$ 是 Gorenstein 投射（内射）的当且仅当其底层左 $R$-模 $_{R}M$ 是 Gorenstein 投射（内射）的。(2) 若 $\mathrm{G}\text{-}\mathrm{proj.dim}_{A}M<\infty$，则 $\mathrm{G}\text{-}\mathrm{proj.dim}_{A}M = \mathrm{G}\text{-}\mathrm{proj.dim}_{R}M$，对 Gorenstein 内射维数的对偶结论亦成立。(3) 若该扩张为分裂的，则 $\mathrm{G}\text{-}\mathrm{gldim}(A)= \mathrm{G}\text{-}\mathrm{gldim}(R)$。