哥德尔、塔斯基、丘奇与说谎者

著名的哥德尔不完备定理与一切逻辑悖论的原型——说谎者悖论——密切相关，这一事实当然不仅为人熟知，而且已成为逻辑学家群体的常识。实际上，几乎每一处对该定理或多或少形式化的处理（包括哥德尔原论文在内）都提及了这一联系。鉴于这一联系的存在已是老生常谈，更令人惊讶的是关于其确切性质却知之甚少。现在，本文的工作表明，数学的三个核心局限性定理——关于算术的不完备性与不可判定性，以及真理在其中不可定义性——背后的一般观念，可被视作解决说谎者悖论的不同方式。事实上，说谎者悖论的一个抽象形式变体构成了一种一般概念图式，它揭示了上述定理的共同逻辑根源并将其相连，同时表明，在某种意义上，这些是基于真理与可证性 alone 所能考虑的、作为说谎者悖论不同表现的相关局限性定理的唯一可能。另一方面，如一个简单例子所示，这一抽象版本的悖论开启了表述涉及真理与可证性以外观念的相关结果的可能性。