磁流体力学中的 Godbillon-Vey 螺旋度与磁螺旋度

Godbillon-Vey 不变量出现在同调论与代数拓扑中,当满足 3D 流形的余维 1 叶状结构条件时。磁流体力学(MHD)中的磁 Godbillon-Vey 螺旋度不变量是一个高阶螺旋度不变量,出现在满足磁螺旋度密度 $h_m={\bf A}{\bf\cdot}{\bf B}={\bf A}{\bf\cdot}(\nabla\times{\bf A})=0$ 的流动中,其中 ${\bf A}$ 为磁矢势,${\bf B}$ 为磁感应强度。本文推导了磁 Godbillon-Vey 场 $\boldsymbol{\eta}={\bf A}\times{\bf B}/|{\bf A}|^2$ 与 Godbillon-Vey 螺旋度密度 $h_{gv}=\boldsymbol{\eta}{\bf\cdot}(\nabla\times{\boldsymbol\eta})$ 在一般 MHD 流动(其中 $h_m=0$ 或 $h_m\neq 0$)中的演化方程。在 $h_m=0$ 的流动中出现 $h_{gv}$ 的守恒律。对于 $h_m\neq 0$,$h_{gv}$ 的演化方程包含一个源项,其中 $h_m$ 通过背景流动的剪切张量与 $h_{gv}$ 耦合。$h_{gv}$ 的输运方程还依赖于电场势 $\psi$,其与 ${\bf A}$ 的规范有关,在平流 ${\bf A}$ 规范(其中 $\psi={\bf A\cdot u}$,${\bf u}$ 为流体速度)下取最简形式。研究了 Godbillon-Vey 磁螺旋度在太阳物理中使用的非线性无力磁场中的应用。讨论了 Godbillon-Vey 螺旋度在理想流体力学零螺旋度流动以及三维平流零螺旋度拉格朗日运动学中的可能用途。