单指标模型下稀疏对立假设的整体检验

对于高斯设计下的单指标模型 $y=f(\beta^{\tau}x,\epsilon)$（其中 $f$ 未知，$\beta$ 为至多含 $s$ 个非零元素的稀疏 $p$ 维单位向量），我们关注检验原假设“$\beta$ 作为整体向量为零”对立于“\beta$的某些元素非零”的假设检验问题。在假设$var(\mathbb{E}[x\mid y])$不消失的条件下，我们将模型的广义信噪比（gSNR）$\lambda$定义为$var(\mathbb{E}[x \mid y])$的唯一非零特征值。我们证明，若$s^{2}\log^2(p)\wedge p$的阶小于$n$（记为$s^{2}\log^2(p)\wedge p\prec n$，其中$n$为样本量），则能检测到信号存在的充要条件是 gSNR$\succ\frac{p^{1/2}}{n}\wedge \frac{s\log(p)}{n}$。进一步，若噪声为加性噪声（即$y=f(\beta^{\tau}x)+\epsilon$），则能检测到信号存在的充要条件是 gSNR$\succ\frac{p^{1/2}}{n}\wedge \frac{s\log(p)}{n} \wedge \frac{1}{\sqrt{n}}$。令人相当惊讶的是，带加性噪声的单指标模型的检测边界与线性回归模型相一致。这些结果为高维单/多指标模型的透彻理论分析铺平了道路。