次梯度法在鲁棒信号恢复中的全局收敛性

我们研究了用于因子化鲁棒信号恢复问题的次梯度法，这些问题包括鲁棒主成分分析（PCA）、鲁棒相位恢复和鲁棒矩阵感知。由此产生的目标函数是非光滑且非凸的，并且可能具有无界的下水平集，因此基于下降和强制性的标准分析并不适用。对于局部 Lipschitz 的半代数目标函数，我们开发了一个收敛框架，用连续时间次梯度轨迹上的有界性条件取代了这些要求。在此条件下，并采用阶数为 $1/k$ 的足够小的步长，我们证明了次梯度法的迭代保持有界，并且整个序列收敛到一个临界点。然后，我们通过调整现有的轨迹分析，验证了三个稳健目标函数所需的有界性性质，并在矩阵感知情形下假设了一个温和的非退化条件。最后，对于秩一对称鲁棒 PCA，我们证明对于几乎所有的初始化，该方法都不能收敛到虚假的临界点；因此，在相同的步长机制下，它会收敛到一个全局最小值。